Adriano GS: julho 2010

sábado, 31 de julho de 2010

Função Quadrática: forma canônica

Qual o gráfico da função f(x)=3(x+4)^2-11

?

Se marcarmos alguns pontos do gráico desta função logo veremos que é uma parábola. Não é de admirar, pois 3(x+4)^2-11=3(x^2+8x+16)-11=3x^2+24x+37

. Ou seja, é uma função polinomial do 2º grau escrita de uma forma diferente.

O interessante en escrever a função desta forma é que assim ficam explicitos algumas propriedades desta função, por exemplo: o valor 3(x+4)^2

é sempre positivo ou zero quando x=-4

, mas

que é o menor valor que esta função pode assumir, ou o valor do vértice. Encontrar os zeros desta função também não é complicado, basta resolver 3(x+4)^2-11=0

, somando 11, dividindo por 3 extraindo a raíz quadrada e subtraindo 4 vemos que isto é o suficiente para encontrarmos $x=-4\pm\sqrt{\frac{11}{3}}$ .

A função f(x)=A(x+B)^2+C

com A, B e C reais é chamada de a forma canônica da função do 2º grau. O maior problema é como colocar , por exemplo a função f(x)=2x^2-4x+8

, na forma canônica? Para responder esta questão vamos fazer por passos.

Primeiramente colocamos o coeficiente de x² (2) em evidência, ficando com:

O maior trunfo nestes procedimentos é somar e subtrair um número para que encontremos um quadrado perfeito dentro do parenteses. Não é complicado encontrar este número, para isso recorremos ao produto notável (x_y)^2=x^2+3yx+y^2

. O número que queremos somar e subtrair dentro do parenteses será denotado por y^2

. Note que ele deve satisfazer 2yx=-2x

, ou seja, devemos ter y=-1

. Assim a função fica:

$\begin{array}{l}f(x)=2(x^2-2x+y^2-y^2+4) \\ f(x)=2(x^2+2(-1)x+(-1)^2-(-1)^2+4)\end{array}$

Repare que, por construção, as três primeiras parcelas dentro do parenteses é igual a um quadrado perfeito. Explicitamente x^2+2(-1)x+(-1)^2=(x-1)^2

. Fazendo esta substituição temos:

$\begin{array}{l} f(x)=2(x^2+2(-1)x+(-1)^2-(-1)^2+4)\\ f(x)=2((x-1)^2+3)\end{array}$

E por fiz, distribuindo 2 dentro do parenteses econtramos a forma canônica da função:

Resta a questão de generalizar isso para a função genérica $f(x)=ax^2+bx+c, a\neq0$ . Para isso procedemos da mesma forma.

1_Coloque o coeficiente de em evidência

$f(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$

2_Some e suntraia um número de tal forma que $2yx=\frac{a}{b}x\Rightarrow y=\frac{b}{2a}\Rightarrow y^2=\frac{b^2}{4a^2}$ .

$f(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right)$

3_Fatore as três primeiras parcelas que, segundo a soma que fizemos, é um quadrado perfeito.

$f(x)=a\left(\left(x+\frac{b^}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right)$

4_Some as outras duas parcelas $-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right$ .

$f(x)=a\left(\left(x+\frac{b^}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$ .

5_Distribua a dentro do parenteses.

$f(x)=a\left(x+\frac{b^}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

A expressão b^2-4ac

é chamada de discriminante da equação do 2º grau e é representada pela letra grega $\Delta$ (delta maiúscula). Assim, podemos também escrever a função f(x)=ax^2+bx+c

como:

$f(x)=a\left(x+\frac{b^}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$

domingo, 25 de julho de 2010

LaTeX como um meio de comunicação pela web

Normalmente que discute matemática por sites de interação social como orkut, facebook, twitter, blogger entre outros tem uma certa dificuldade de comunicar certos símbolos e fórmulas.

Uma alternativa que venho apresentar aqui, não para suprimir esta dificuldade mas pelo menos amenizá-la, é um pluging para o firefox que permite a edição de textos matemáticos em linguagem LaTeX. Para isso é preciso de três atributos:

Firefox 1.5 ou superior instalado
Pluging greasemonkey instalado: este pluging permite personalizar a forma como é exibida uma página web usando pequenos pedaços de JavaScript.
O Script http://thewe.net/tex/textheworld6.user.js instalado: Este é o código em JavaScript que permitirá a visualização de formulas pela internet.

Para escrever em linguagem matemática (frações, raízes, potências, funções entre outros símbolos) o conteúdo deve ser escrito em linguagem TeX, iniciado por [; e finalizado por ;]. A sintaxe básica do LaTeX pode ser consultada no site do Wikipedia: aqui

Se você fez a instalação corretamente do plunging verá abaixo um conjunto de símbolos matemáticos:

[;y = x^4 - 3x^2 + 5;]

[;\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a};]

[;e^{i\sqrt{-1}}+1=0;]

[;S=\sum_{k=1}^{10}{f(x_k)};]

[;\begin{cases}3x + 4y =10 \\ 2x - 5y = 25\end{cases};]

[;I\,=\,\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\, dx;]

[;\color{1} f(x) = \frac{sin^2 \theta} {\sqrt{\beta}};]

[;\lim_{n \to \infty}x_n;]

quinta-feira, 15 de julho de 2010

Soneto de Promessa

Coração vermelho, vibrante inconsciente;
Causando um terremoto, abalando a alma;
Próximo a ela é feliz, sempre contente;
E não se igual em qualquer flora ou fauna.

Viver por ela, minha inspiração;
Quero sempre sentir este amor excitante;
Beijar, tocar e ouvir sua canção.

Estar sempre junto, respeitando com igualdade;
Não vez ou outra, mas sempre constante;
Não ser uma máquina, porem parte da humanidade.

Pode ser, entretanto que o amor não dure;
Que em cada grão da ampulheta se torna diferente;
Se for o caso quer lutar para que o amor madure;
E que a cada instante o viva mais intensamente.

Aline, te amo.

Adriano GS