Adriano GS: junho 2010

sexta-feira, 4 de junho de 2010

Vértice da Função do 2º grau

Sabemos que o gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola no plano $\mathbb R^2$ . Em algumas situações é interessante determinar em que ponto está situado o vértice da parábola, ponto este que é o máximo (se a concavidade da parábola está para cima) ou mínimo (caso contrário) valor que a função atinge.

Para encontrar este vértice consideramos 3 possíveis situações em que se pode encontrar a função: 1 - a função tem duas raízes; 2 - a função tem uma única raiz; 3 - a função não tem raiz. Estas três situações são ilustradas abaixo:

Em todo caso, encontrar as raízes de uma função f(x)=ax^2+bx+c é o mesmo que resolver a equação que como sabemos possui ou não solução real dependendo do discriminante $\Delta=b^2-4ac$ . As condições são:

possui 2 raízes reais se ;
uma raiz real se $\Delta=0$ ;
nenhuma raiz real se $\Delta<0$ .

Observando a figura acima e considerando estas 3 condições de $\Delta$ podemos notar que a função f(x)=ax^2+bx+c terá valor no vértice igual a zero se seu discriminante for igual a zero. Podemos ver isto nos exemplos abaixo:

Agora, se é o valor que uma função f(x)=ax^2+bx+c

assume em seu vértice ( pode ser máximo ou mínimo) consideramos a função .

Podemos notar que a função além de continuar sendo uma função do 2º grau, também o valor que assume no vértice é zero, isto pode ser verificado notando que ao somar a estamos apenas transladando o seu gráfico verticalmente, isto é, se f(x_v)

é o valor de no vértice então também é o valor de no vértice, e além disso .

Neste caso para encontrar o vértice (x_v,y_v), y_v=h,

basta encontrar os valores de x_v

, o que é particularmente fácil pois, como g(x)

tem uma única solução (seu vértice toca o eixo

) seu discriminante é zero, em outras palavras:

$\begin{array}{rcl}\Delta_g&=&0\\b^2-4a(c-h)&=&0\\-4ac+4ah&=&-b^2\\4ah&=&-b^2+4ac\\ h&=&\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\\h&=&\dfrac{-\Delta_f}{4a}\end{array}$

E o valor de x₀ é, portanto:

$\begin{array}{rcl}x_v&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta_g}}{2a}\\{}&=&\dfrac{-b}{2a}\end{array}$

Ou seja, o ponto que é o vértice do gráfico da função é:

$(x_v,y_v)=(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a})$

quarta-feira, 2 de junho de 2010

Soma da PA

Algumas vezes pode se interessante conhecer qual é a soma dos termos de uma progressão aritmética (finita). Entretanto, o trabalho de obter esta soma pode ser tornar massante se a sequências tiver mais que 100 elementos e insistirmos na soma termo a termo.

Um meio mais rápido de obter esta soma é somar primeiros os extremos da PA. O primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo, o terceiro com o anti penúltimo e assim por diante. Veja no exemplo abaixo como isso diminui o trabalho:

A soma desta PA é 6 x50. Não é difícil verificar por que quando somamos os extremos de uma PA o resultado é sempre o mesmo. Praticamente o que fizemos acima foi:

a_1+a_n

$\begin{array}{rcl} a_2+a_{n-1}&=&(a_1+r)+(a_1+(n-2)r)\\ &=&a_1+(a_1+(n-1)r)\\ &=&a_1+a_n\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} a_3+a_{n-2}&=&(a_1+2r)+(a_1+(n-3)r)\\ &=&a_1+(a_1+(n-1)r)\\ &=&a_1+a_n\\ \end{array}$
...

Neste processo podemos prematuramente concluir que a soma de uma PA pode ser obtida somando o primeiro termo com o último e multiplicando este resultado pela metade do número de termos. Isto é válido também para PAs com um número ímpar de termos. Por exemplo:

$(1,\quad 3,\quad 5,\quad 7,\quad 9)$

A soma é $(1+9)\times \frac{5}{2}=10\times 2,5=25$ . De fato:

1+3+5+7+9=25

Uma forma de melhor visualizar isto é a seguinte. Seja

o valor da soma da PA (a_1, a_2, a_3, ..., a_n)

. Temos que.

$S=a_1+ a_2+ a_3+ ...+a_{n-2}+a_{n-1} +a_n$

o que podemos reescrever por

$S=a_n+ a_{n-1}+ a_{n-2}+ ...+a_3+ a_2+a_1$

Vimos acima que as somas $a_1+a_n, a_2+a_{n-1}, a_3+a_{n-2}, ...$ são todas iguais. Assim, fazendo S+S

somando as parcelas acima termo a termo temos:

$\begin{array}{rcl} S&=& a_1+a_2+..+a_{n-1}+a_n\\ +S&=&a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1\\ \hline 2S&=&(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+...+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)\\ 2S&=&(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)\\ 2S&=&n(a_1+a_n)\\ S&=&\frac{n}{2}(a_1+a_n) \end{array}$

O que comprova o que falamos anteriormente, que:

$S&=&\frac{n}{2}(a_1+a_n) $

terça-feira, 1 de junho de 2010

Interpolação Aritmética

Um problema de interpolação aritmética consiste em intercalar entre dois números reais dados uma quantidade qualquer de números de forma que esta sequência numérica forme uma PA. Não é difícil encontrar exemplos onde este problema aparece. Exemplo:

Qual deve ser a distância entre um poste e outro para construir uma linha de transmissão de energia sabendo que o ultimo poste fica a 4,2 km da subestação de energia e a empresa dispõe de 28 postes?
As 13 cordas de uma harpa devem estar em progressão aritmética. Sabendo que a menor corda mede 60 cm e a maior 1,8 m qual o comprimento das outras cordas?

Repare que no primeiro problema apenas precisamos encontrar a razão da PA onde a_1=0

é a subestação e $a_{29}=4,2$ . No segundo problema sabemos que a_0=60

e $a_{13}=180$ e queremos encontrar os outros termos, algo que é simples após encontrar a razão.

No artigo anterior Progressão Aritmética vimos que dados dois termos de uma PA podemos encontrar sua razão por $r=\frac{a_m-a_n}{m-n}$ .

No caso geral, sejam