sábado, 31 de julho de 2010

Função Quadrática: forma canônica

Qual o gráfico da função f(x)=3(x+4)^2-11?

Se marcarmos alguns pontos do gráico desta função logo veremos que é uma parábola. Não é de admirar, pois 3(x+4)^2-11=3(x^2+8x+16)-11=3x^2+24x+37. Ou seja, é uma função polinomial do 2º grau escrita de uma forma diferente.

O interessante en escrever a função desta forma é que assim ficam explicitos algumas propriedades desta função, por exemplo: o valor 3(x+4)^2 é sempre positivo ou zero quando x=-4, mas f(-4)=-11 que é o menor valor que esta função pode assumir, ou o valor do vértice. Encontrar os zeros desta função também não é complicado, basta resolver 3(x+4)^2-11=0, somando 11, dividindo por 3 extraindo a raíz quadrada e subtraindo 4 vemos que isto é o suficiente para encontrarmos x=-4\pm\sqrt{\frac{11}{3}}.

A função f(x)=A(x+B)^2+C com A, B e C reais é chamada de a forma canônica da função do 2º grau. O maior problema é como colocar , por exemplo a função f(x)=2x^2-4x+8, na forma canônica? Para responder esta questão vamos fazer por passos.

Primeiramente colocamos o coeficiente de x² (2) em evidência, ficando com:

f(x)=2(x^2-2x+4)

O maior trunfo nestes procedimentos é somar e subtrair um número para que encontremos um quadrado perfeito dentro do parenteses. Não é complicado encontrar este número, para isso recorremos ao produto notável (x_y)^2=x^2+3yx+y^2. O número que queremos somar e subtrair dentro do parenteses será denotado por y^2. Note que ele deve satisfazer 2yx=-2x, ou seja, devemos ter y=-1. Assim a função fica:

\begin{array}{l}f(x)=2(x^2-2x+y^2-y^2+4) \\ f(x)=2(x^2+2(-1)x+(-1)^2-(-1)^2+4)\end{array}

Repare que, por construção, as três primeiras parcelas dentro do parenteses é igual a um quadrado perfeito. Explicitamente x^2+2(-1)x+(-1)^2=(x-1)^2. Fazendo esta substituição temos:

\begin{array}{l} f(x)=2(x^2+2(-1)x+(-1)^2-(-1)^2+4)\\ f(x)=2((x-1)^2+3)\end{array}

E por fiz, distribuindo 2 dentro do parenteses econtramos a forma canônica da função:

f(x)=2(x-1)^2+6

Resta a questão de generalizar isso para a função genérica f(x)=ax^2+bx+c, a\neq0. Para isso procedemos da mesma forma.

1_Coloque o coeficiente de x^2 em evidência

f(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)

2_Some e suntraia um número y^2 de tal forma que 2yx=\frac{a}{b}x\Rightarrow y=\frac{b}{2a}\Rightarrow y^2=\frac{b^2}{4a^2}.

f(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right)

3_Fatore as três primeiras parcelas que, segundo a soma que fizemos, é um quadrado perfeito.

f(x)=a\left(\left(x+\frac{b^}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right)

4_Some as outras duas parcelas -\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right.

f(x)=a\left(\left(x+\frac{b^}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right).

5_Distribua a dentro do parenteses.

f(x)=a\left(x+\frac{b^}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}


A expressão b^2-4ac é chamada de discriminante da equação do 2º grau e é representada pela letra grega \Delta (delta maiúscula). Assim, podemos também escrever a função f(x)=ax^2+bx+c como:

f(x)=a\left(x+\frac{b^}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}
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2 comentários:

  1. Anônimo27 de março de 2011 às 11:48

    ótimo! Apenas uma correção ali no produto, quadrado da soma de dois termos, seria:

    (x + y)² = x² + 2xy + y²
    e não (xy)² = x² + 3xy + y²

    Deve ter sido um erro de digitação..

    vlw, excelente post. Esclareceu.

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  2. Anônimo18 de outubro de 2011 às 08:53

    Olá!

    Você pode me ajudar resolver esse exercício?

    Na função quadrática f(x)= 3x²+(m-2)x-1, calcular o valor de m para que o gráfico da função passe pelo ponto (-1,4).

    Aguardo sua resposta!

    Obrigada

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