Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é a soma do termo anterior com uma constante . Matematicamente falando:

: dado

Numa PA chamamos o número de sua razão. Destacar o primeiro termo da PA também é importante uma vez que a partir deste encontramos todos os outros termos. São exemplos de PA:

Outra propriedade que podemos verificar em uma PA é que qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética de seu sucessor e antecessor.

TERMO GERAL DA PA

Note que

Se continuarmos procedendo desta forma tudo indica que para qualquer n teremos: . De fato isto é verdade, podemos verificar que o próximo termo será:

Assim, qualquer termo da PA pode ser encontrado, sem ser preciso descobrir os intermediários, pela formula:

RAZÃO DA PA

Dada uma PA, podemos facilmente encontrar sua razão. Por exemplo, seja a PA genérica:

Como para qualquer , temos que . Assim, para encontrar a razão basta subtrair de qualquer termo da sequência o termo anterior .

Também podemos encontrar a razão de uma PA a partir de dois termos quaisquer, desde que saibamos os índices destes termos.

Suponha conhecidos e , pela formula do termo geral temos que e . Assim:

portanto

Note que o primeiro caso para encontrar a razão da PA é um caso particular onde .

Sequências Numéricas

CONCEITO E DEFINIÇÃO

Uma sequência numérica é qualquer lista ordenada de números reais com índices no conjunto dos números naturais. O elemento de índice n de uma sequência é chamado de n-ésimo termo da sequência. Os índices nos permitem estabelecer uma relação biunívoca entre o conjunto dos números naturais e os termos da sequência.

São sequências numérica:

(1) . . . . . . . . 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
(2) . . . . . . . . 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
(3) . . . . . . . . 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
(4) . . . . . . . . 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ...
(5) . . . . . . . . 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
(6) . . . . . . . .5, 6, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 2, ....

Note que nas sequências (1), (2), (3) e (4) não é difícil encontrar um padrão nos números listados. Na sequência (5) cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores. Já na sequência (6) não há um critério explícito para a formação da sequência.

Normalmente usamos a notação a_n para denotar o n-ésimo termo de uma sequência, assim na sequência (3) temos: a₁=2, a₂=3, a₃=5, a₄=7, e assim por diante.


CLASSIFICAÇÃO DAS SEQUÊNCIAS

Não menos, nem mais importante, são as classificações das sequências. Segundo algumas propriedades podemos classificar as sequências como:

Constante: quando todos os termos da sequência são iguais. Exemplos:

(A) . . . . . . . . 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
(B) . . . . . . . . 3,73; 3,73; 3,73; 3,73; ...

Crescente: quando qualquer termo, a partir do segundo, é maior ou igual ao termo anterior. Exemplos:

(C) . . . . . . . . 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
(D) . . . . . . . . 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Decrescente: quando qualquer termo, a partir do segundo, é menor ou igual ao anterior. Exemplos:

(E) . . . . . . . . 4, 3, 1, -5, -10, ...
(F) . . . . . . . . 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...

Limitada: quando existem números reais k e K de tal forma de todos os termos da sequência estão entre eles. Exemplos:

(G) . . . . . . . . 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... (k=0, K=1/2)
(H) . . . . . . . . 1, 2, 1, 2, 1, 2, ....(k=1, K=2)

Oscilante: quando a sequência forma um período que se repete indefinidamente. Exemplos:

(I) . . . . . . . . 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...
(J) . . . . . . . . 3, 5, 11, 3, 5, 11, 3, ...

Nula: quando todos os termos são iguais a zero.

Algumas sequências que mais se destacam são as Progressões Aritméticas (PA) e as Progressões Geométricas (PG) que descreveremos com mais aprofundamento posteriormente.

Critérios de Divisibilidade

Aritmética modular

Um problema de periodicidade

Frequentemente sempre estamos nos deparando com eventos periódicos, ou seja, fatos que ocorrem com repetidas vezes em um determinado intervalo de tempo. A terra demora 365 dias e 4 horas para dar um voltar completa em torno do sol, e 24 horas para completar uma volta em torno de si, a Lua demora 27 dias para dar uma volta em torno da Terra e 27 dias para rotacionar em torno de si mesma (já reparou que a Lua tem apenas uma face voltada para a Terra?), a cada 7 dias repetimos o dia da semana que estamos.

Alguns eventos periódicos entretanto são criados pelo homem para organizar suas tarefas, o calendário escolar é uma delas que distribui discretamente os horários de aula durante os dias da semana. Assim, dado um determinaro dia, você pode saber ou não se terá aula de matemática.

Suponha que hoje é dia 3 de julho de 2009, uma sexta-feira e você queira saber se dia 11 de outubro terá aula de matemática, porem, não dispões de um calendário.

Como julho tem 31 dias, até o final do mês se passará 31-3=28 dias, para chegar ao final de agosto, que tem mais 31 dias, levaremos 28+31=59 dias, para chegar ao final de setembro somamos os 30 dias do mês, temos 59+30=89 dias. Para o dia 11 de outubro faltam somar mais 11 dias, ou seja, do dia 3 de julho a 11 de outubro se passarão 100 dias.

Sabemos que o calendário se repete de 7 em sete dias, assim, a cada 7 dias voltamos a cair numa sexta-feira. Isso significa que em 100 dias vamos passa exatamente o quociente da divisão 100:7 vezes pela sexta-feira, precisamos saber quantos dias sobram.

100=98+2=7x14+2

Dessa forma, após 98 dias estaremos numa sexta-feira novamente, e após mais 2 dias, chegamos ao domingo. E com certeza você não terá aula no domingo do dia 11 de outubro de 2009.

A aritmética modular

Repare que o que nos importou mas para resolver este problema do calendário escolar não foi toda a divisão mas apenas o resto dela, pododeriamos ter simplificados nossas contas se conhececemos as aritmética modular.

Por definição, dizemos que doi números a e b são comgruêntem módulo n se o resto da divisão de a por n é igual ao resto da divisão de b por n, podemos escrever matemáticamente isso como.

a=k₁n+r

b=k₂n+r

com 0≤r≤n-1

E escrevemos

a≡b(mod n)

Uma equivalência a essa definição é dizer que o número a-b é multiplo de n. De fato:

a-b=(k₁n+r)-(k₂n+r)=(k₁-k₂)n

Usando o exemplo do problema que resolvemos.

100≡2(mod 7)

A aritmética modular goza das mesmas propriedades da iguadade, para quaisquer a, b, c e n número inteiros, sempre se tem.

Propriedade reflexiava:

a≡a(mod n)

pois a-a=0n

Propriedade simétrica:

Se a≡b(mod n), então b≡a(mod n)

que é verificado pela definição

Propriedade transitiva:

Se a≡b(mod n) e b≡c(mod n), então a≡c(mod n)

Temos que:

a-b=k₁n (1)

b-c=k₂n (2)

Fazendo (1)-(2) temos

a-c=(k₁-k₂)n

Propriedades da soma, multiplicação e potênciação

As propriedades relacionadas a soma multiplicação e potenciação são:

P1: Se a≡r₁(mod n) e b≡r₂(mod n). então

a+b≡r₁+r₂(mod n)

Demons: Temos que

a-r₁=k₁n (1)

b-r₂=k₂n (2)

Somando (1) com (2) temos que:

(a+b)-(r₁+r₂)=(k₁+k₂)n

P2:Se a≡r₁(mod n) e b≡r₂(mod n). então

ab≡r₁r₂(mod n)

Demons: Escrevendo as congruências em forma de divisão temos que:

a=k₁n+r₁(1)

b=k₂n+r₂(2)

E multiplicando (1) com (2) temos:

ab= (k₁n+r₁ )(k₂n+r₂)

ab=(k₁k₂n+k₁r₂+k₂r₁)n+r₁r₂

P3: Se a≡b(mod n) e k é um inteiro positivo, então a^k≡b^k(mod n)

Demons: Vamos demonstrar por indução em k. Pela hipótese, para k=1 a propriedade é válida, digamos que para algum k inteiro positívo vale a propriedade a^k≡b^k(mod n). Usando a propriedade P2 da multiplicação temo que também é válido:

aa^k≡bb^k(mod n),

ou seja.

a^k+1≡b^k+1(mod n)

Logo, pelo princípio da indução matemática, a propriedade P3 é valida para qualquer que seja k inteiro positivo

Resolvendo um problema usando Aritmética modular.

Problema 1: Vamos resolver o problema que fizemos no exemplo: Se hoje é dia 3 de julho, faltam 31-3 dias para o fim do mês, mais 31 dias do mês de agosto, 30 de setembro e 11 para chegar ao dia 11 de outubro, em congruência, montamos a equação:

31-3+31+30+11≡ x(mod 7)

28+31+30+11≡ x(mod 7)

Usando a propriedade P1, vamos encontrar o menor valor de x que satisfaça a equação. temos assim:

28≡0(mod 7)

31≡3(mod 7)

30≡2(mod 7)

11≡-3(mod 7)

Repare que não nos restringimos aos número possitivos, como a definição de congruência comtempla todos os inteiros podemos tem a ultima congruência com tranquilidade. De fato:

11-(-3)=11+3=14=7x2

Usando a propriedade P1 temos que

28+31+30+11≡ x(mod 7)

0+3+2-3≡ x(mod 7)

2≡ x(mod 7)

Basta agora interpretar o resultado, se estamos na sexta-feira, e chegar ao 11 de outubro equivale a mais dois dias da semana, então 11 de outrubro cai em um domingo.

Problema 2: Qual o resto da divisão de 2⁷³⁴⁸ por 31?

Sem a aritmética modular esse problema nos daria uma boa dor de cabeça, mas com a nova teoria que conhecemos fica fácil resolve-lo.

Vamos calcular as primeiras potências de 2 módulo 31, temos:

2≡2(mod 31)

2²=4≡4(mod 31)

2³=8≡8(mod 31)

2⁴=16≡16(mod 31)

2⁵=32≡1(mod 31)

Não precisamos ir além disso, se a 5ª potência de 2 (que é 32) módulo 31 é 1, qualquer potência de 32 também será igual a 1 módulo 31, isso por causa de P3. Assim, escrevendo 7348=5x1469+3 temos que.

2⁷³⁴⁸≡2^5x1469+3(mod 31)

2⁷³⁴⁸≡(2⁵)¹⁴⁶⁹x2³(mod 31)

2⁷³⁴⁸≡1¹⁴⁶⁹x8(mod 31)

2⁷³⁴⁸≡8(mod 31)

O resto da divisão de 2⁷³⁴⁸ por 31 é 8.

Amar, Ligar, Imaginar, Nascer E...

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A Borboleta do Mal

"Na faculdade quando a gente não tem muito que fazer e o tédio toma conta, idéias como estas aparecem. Resolvi posta por aqui, só por curiosidade de mostrar o que pensa a mente humana. Ou pelo menos a minha XD"


Lilavati corria pela parte desabitada da cidade com um monstro de asas negras em seu encalço.

Ela sabia que correr não adiantava. Entrou em um prédio desabitado, mas não houve tempo. A gigantesca borboleta havia enrolando sua língua no tornozelo da mulher e a arrastava para fora.

No desespero, Lilavati chutou com a perna liberta uma cadeira que se firmou entre a porta e ela. Lila se segurou com as mãos, mas não saberia quanto tempo ia suportar, não sabia o quanto sua perna permaneceria grudada no corpo.

Este seria seu fim não fosse a lâmina de um machado ter descido sob aquela língua e libertado a perna de Lila, donde ainda pendia um pedaço do monstruoso inseto furioso a fora do prédio.

Lila olhou para cima. Havia um homem, andarilho, um pouco mais de 30 anos de idade. Este segurava um machado sujo com uma gosma que se poderia dizer sangue de borboleta.

Lila se pôs de pé. Nada falou estando ainda em choque. O homem também permaneceu quieto, apenas apontou para um correndo, caminho que a mulher logo seguiu.

No fim havia um porão. A borboleta furiosa arrancava pedaços do prédio, o qual logo iria abaixo se continuasse.

Lila entrou no porão, mas seu herói não a seguiu. Quando a porta se fechou ela estava trancada.

Passaram-se três horas até a mulher conseguir arrombar a porta com um pedaço de ferro. O andarilho não estava mais por ali. Muito tinha sido destruído e uma borboleta negra de 6 metros de asas jazia morta no chão.

só, numa noite, numa estrada

A noite era fria e o vento soprava com fúria do rosto da garota. Já
andava a algum tempo por uma estava que marginava a floresta, o medo
fazia seu coração saltar acelerado no peito, não tinha coragem o
suficiente para andar a maior parte do caminho de olhos abertos,
caminho este cujo escuridão confundia a mente mais sã.

As estrelas no céu pareciam brincar de esconde-esconde com as nuvens que
passavam rápido sendo arrastadas pela força do vento. O vulto das
árvores e o capim da beira da estrada que rosava suas canelas eram as
únicas formas de ser localizar no acostamento da estrada.

A garota não sabia dizer se o que ouviu foi alguém correndo pela mata
ou o silvo constante do vento na copa das árvores. Seu coração por
incrível que pareça bateu mais rápido, de relance a garota parou e por
um momento exitou olhar por entre as árvores.

Virou-se. Nada a mais de dois metros poderia ser visto dentro daquela floresta fechada.

---Quem está ai?---Falou finalmente tomando coragem---Sai dai, está me assustando.

As ultimas palavras da garota foram de choro e pavor. Ela saiu de perto
do mato a beira da estrada, sentou-se no meio da rua olhando
receosamente para todos os lados e chorando. Esperaria ali às 4 horas
restantes da noite até os primeiros raios do sol lhe mostrar que tudo
não passava de sua imaginação.