O que é a teoria do Caos

O caos aparece em alguns sistemas dinâmicos que em teoria é bem determinado, porem após várias iterações o resultado encontrado é totalmente diferente do esperado. Neste sistemas uma pequena mudança no estado inicial implica em uma drástica mudança no estado do sistema em poucas iterações.

Um exemplo de caos, modelado por um sistema dinâmico, é a previsão do tempo. Lorenz encontrou um sistema de três equações diferenciais em que um pequeno erro no estado inicial da solução do sistema implicava em uma mudança consideravel no resultado final. Mas não ficou nisso, Lorenz, ao plotar os pontos das iterações em um gráfico descobriu que as soluções do sistema sempre pertencem a um conjunto limitado.

A matemática estuda sistemas dinâmicos caóticos. E os sistemas dinâmicos tem como base os axiomas da análise [corpo ordenado completo, extensão de corpos, espaços vetoriais]. A teoria do caos acredita que alguns fenômenos físicos podem ser descritos através de modelos caóticos de sistemas dinâmicos. Ou seja, a teoria do caos é mais uma teoria de modelagem e não um sistema axiomático como a geometria e a aritmética.

Muitos fenômenos hoje em dia realmente são descritos por sistemas caóticos: a previsão do tempo, a flutuação da bolsa de valores, batimentos cardíacos, a rotação e a órbita da lua hipérion de saturno. Até agora a teoria não foi derrubada pois nenhum destes fenômenos deixaram de se comportar como um sistema caótico.

Só para fixar vou lhe passar um exemplo de sistema dinâmico discreto que se comporta randomicamente (caótico). Se você tiver uma calculadora científica casio fica melhor ainda, se não pode fazer em uma calculadora qualquer mesmo com um trabalho um pouco maior.

em latex




Escolhe um número no intervalo diferente de 0.5 e monte a sequência:



Faça isso até o quinquagégimo termo da sequência. Depois você escolhe outro número entre (0,1) cuja diferença com o número seja mínima e monte a sequência agora com esse valor inicial. Nestas iterações você verá que mesmo que a diferença seja muito pequena os últimos termos das duas sequência são consideravelmente diferentes.

Entretanto nenhum termo das duas sequências oscilou, convergiu ou foram para + ou - infinito, sempre se mantiveram no intervalo .


Na calculadora casio você pode fazer assim: digita o número, aperta "=", digita a fórmula e aperta "=" 50 vezes, depois faz isso com o outro número: Por exemplo:

0,123456789
=
2*Ans^2-1
= "cinquenta vezes"
0,898512658

"outro número"

0,123456788
=
2*Ans^2-1
= "cinquenta vezes"
0,921955664

Repare que |0,123456789-0,123456788|=0,000000001
e ________|0,898512658-(-0,921955664)|=-1,

820468322

muita divergência.