Sobre o Escrever Matemática

Inicialmente, conforme sugeriu Donald Knuth na criação do TeX, num texto matemático a letra x deve ser diferente da incógnita $x$. Se você está vendo x e $x$ da mesma forma, ou há um problema em teu leitor, ou aquele que vos fala não preparou o arquivo corretamente. Em todo caso, devemos saber diferenciar o que é elemento textual, como y=f(x), de elemento matemático como $y=f(x)$.

Textos matemáticos utilizam números, símbolos, literais e operadores. Por exemplo, isso $\mathit{log}$ representar 3 literais enquanto isso $\text{log}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->$ representa o operador de logaritmo. Isso faz muita diferença, por exemplo, quando vamos vamos apresentar a propriedade $\text{log}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\mathit{xy}=\text{log}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+\text{log}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y$. Imagina isso escrito da forma $\mathit{logxy}=\mathit{logx}+\mathit{logy}$. Feio, não?

Matemáticos precisam de muitos símbolos. As 26 letras do alfabeto não são suficientes. Nem mesmo se entendermos maiúsculas e minúsculas como diferentes. Precisamos das letras gregas $\pi$, $\phi$, $\mathrm{\Delta }$ para representar operadores e constantes. Usamos o $\aleph$ do alfabeto hebraico na representação de cardinais infinitos, pois o grego não deu conta. Inventamos nossos próprios símbolos como $\in$, $\notin$, $\cap$, $\le$, $\ge$, $\oplus$. Sem tudo isso, como iriamos representar a lei de entropia $\mathit{dS}\ge 0$?

Gostamos de empilhar símbolos com índices $a_0$, $a_1$, $a_2$, ... e potências $a{x}^2+\mathit{bx}+c$. Sem isso vocês não teriam a equação do teorema de Pitágoras $c^2=a^2+b^2$, para usar no dia-a-dia, sequer saberia a relação $E=m{c}^2$ entre a energia e a massa proveniente da teoria da relatividade. A bela identidade de Euler $e^{\mathit{\pi i}}=-1$ que carrega as três principais constantes matemáticas seriam inexpressível. Ou ainda não poderia fazer coisas como $x^{y^z}$, $x_{2^y}$ ou definir uma função como $f(x)=x^{2^x}$.

Se inventar e empilhar símbolos não é o suficiente, também esticamos notações para fazer caber expressões dentro de radicandos tais como $\sqrt{a^2+b^2}$ ou nas frações das forma ${\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{\mathit{ad}+\mathit{bc}}{\mathit{bd}}}$. Tais maleabilidades é completamente necessária para uma apresentação descente da fórmula de resolução da equação do segundo grau

$$x_{1,2}={\displaystyle \frac{-\pm \sqrt{b^2-4\mathit{ac}}}{2a}}$$

(2.1)

ou a do terceiro grau de Cardano-Tartaglia

$$x=\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{q}{2}}+\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{q}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{p}{3}}\right)}^3}}+\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{q}{2}}-\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{q}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{p}{3}}\right)}^3}}$$

(2.2)

Sim, também precisamos enumerar as equações, se não como faríamos a referência dos parênteses alargados da Equação (2.2)? Além de adaptar os tamanhos de parênteses, conchetes e chaves, os matemáticos gostam de modificar muitos outros símbolos, como por exemplos o símbolos de integral que é assim ${\int }_a^{b}f(x)\mathit{dx}$, mas pode se apresentar assim ${\int }_a^{b}f(x)\mathit{dx}$. Quando usado de forma adequada fica visualmente agradável apresentar uma somatório infinito na linha do parágrafo tal como $1={\sum <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}_{i=1}^{\infty }9\times 10^{-i}$, ou então numa equação centralizada como

$${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{8}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\displaystyle \frac{1}{{(2n+1)}^2}}$$

(2.3)

Além das potências e índices, matemáticos precisam empilhar símbolos uns sobres os outros, alinhados verticalmente, para a devida precisão na divulgação científica. Se não fosse assim, como diferenciaríamos um escalar $x$ de um verto $\overrightarrow{v}$? Não bastando empilhá-los, é necessário que estes se adaptem a um comprimento necessário, pois que credibilidade teria uma livro de geometria ao apresentar uma semirrete assim $\overrightarrow{\mathit{AB}}$ ao invés da correta representação que é assim $\overrightarrow{\mathit{AB}}$? Sem essas ferramentas, a física não poderia expressão a beleza teórica de forma visual como nas equações de Maxwell abaixo

$$\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}}& ={\displaystyle \frac{q}{{\epsilon }_0}}\\ {\displaystyle \oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}}& =-{\displaystyle \frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}}\\ {\displaystyle \oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A}}& =0\\ {\displaystyle \oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}}& ={\mu }_{0}I+{\mu }_0{\epsilon }_0{\displaystyle \frac{d{\mathrm{\Phi }}_E}{dt}}\end{array}$$

(2.4)

E por fim, queremos que todos estes símbolos e notações caibam em tabelas. Não tabelas usuais, centralizadas e referenciadas segundo a norma, mas em matrizes, que são elementos matemáticos como $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 1& f\end{array}\right]$, ou seja, uma matriz simples que pode ser representada na própria linha do parágrafo, ou a matriz do operador Hessiano, um pouco maior, representada de forma centralizada logo abaixo

$$H(f)=\left[\begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}}\hfill & \hfill ...\hfill & \hfill {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}}\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{{\partial }^2{x}_2}}\hfill & \hfill ...\hfill & \hfill {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_n}}\hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_2}}\hfill & \hfill ...\hfill & \hfill {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{{\partial }^2{x}_n}}\hfill \end{array}\right]$$

(2.5)