RPG

1. JOGO DE INTERPRETAÇÃO DE PAPÉIS
2. NASCE UM PERSONAGEM
3. ENTRANDO EM CENA

Grupos - Introdução

1. INTRODUÇÃO

O conceito de grupo é uma forma generalizada de trabalhar com diversos elementos da matemática que têm algo em comum, porem que seria exaustivo deduzir separadamente suas propriedades. Por exemplo, tome o conjunto dos números inteiros Z e o conjunto das matrizes de números reais 2x2. Em cada um destes conjunto temos definidas duas operações chamadas soma e multiplicação, embora a soma se inteiros seja diferente da soma de matrizes há certas semelhanças entre elas, como a existência de um elemento que somado com qualquer outro do conjunto dá como resultado este qualquer outro, somar a+b é o mesmo que somar b+a seja a e b números ou matrizes, para cada elemento (número ou matriz) existe um outro que somado a este dá o elemento neutro. A representação do que foi falado acima pode ser visto no esquema abaixo:




Podemos fazer algumas comparações entre estes dois conjunto também relativo a multiplicação, a diferença aqui é que o produto de duas matrizes pode dar zero e nem sempre AB=BA quando A e B são matrizes.

O objeto grupo foi inicialmente associado a resoluções de equações polinomiais de grau maior que 4. Até a época de 1824 vários matemáticos se empenhavam em encontrar uma formula para resolução de equações polinomiais de grau maior ou igual a cinco. Entretanto Niels Abel deu uma demonstração de que não há uma formula geral de resolução para equações de grau 5 ou acima evolvendo apenas as operações básicas e a estração de raiz.

Evariste Galois alguns anos depois estabeleceu um critério que diz quando um equação pode ser resolvida a partir das operações mencionadas acima. Galois havia associado as raízes da equação a um conjunto onde era definida uma operação, a partir das propriedades deste conjunto poderia dizer se era possível ou não resolver a equação a partir de radicais. Galois chamou este conjunto com a respectiva operação de Grupo.


2. DEFINIÇÃO E CONCEITO

Dado um conjunto G, uma operação neste conjunto é uma aplicação *:GXG→G onde *(a,b)=a*b. Em outras palavras, uma operação em um conjunto G é uma regra que associa capa par de elementos a e b a um outro elemento a*b em G.
Dado um conjunto G onde está definida uma operação *, chamamos a estrutura (G,*) de grupo se a operação * satisfaz as seguintes condições:

Note que aqui não estamos assumindo necessariamente que a operação seja comutativa, isto é, a*b=b*a. Caso isto aconteça o grupo é chamado grupo comutativo, ou grupo abeliano em homenagem ao matemático Niels Abel.

Note que a partir desta definição podemos fazer algumas inferências das propriedades de operações e conjuntos diversos. No exemplo anterior tanto o conjunto dos inteiros com das matrizes com suas respectivas somas satisfazer as condições de grupos, logo são grupos. Os números racionais, exeto o zero, com a multiplicação também satisfaz as condições de grupos.

Além dos exemplos citados acima podemos encontrar exemplos mais sutís de grupos, como as simetrias de um triângulo equilátero (conhecido como grupos Diametral 3), as permutações de objetos, diferentes subconjunto numéricos, entre outros

Por um fio

Imagine um fio extenso o bastante, capaz de dar a volta no planeta Terra. Imagine que a Terra seja uma esféra perfeita e que este fio é mondado em uma cincunferência encima da superfície da Terra (Figura 1). Agora imagine que a esse fio é acrescentado mais um metro de fio, e o novo comprimento é moldado em uma circunferência perfeita com o mesmo raio que a anterior. Desta nova circunferência existe uma folga entre a superfície da Terra e o fio (Figura 2). Pergunta: Um gato consegue passar por esta folga?


A primeira vista diriamos sem exitar que é impossível um gato passar por esta folga, pois só foi aumentado um metro a mais no fio e isso não produz uma variação significativa no raio da circunferência do fio. Para saber então qual é esta folga vamos calcular esta diferença.

O raio da Terra é aproximadamente 6 355 000 m. A relação que descreve o comprimento de uma circunferência C em função do seu raio r é onde é aproximadamente 3,14159.

Assim, a circunferência da terra é 2 . 6 355 000 . = 39 929 608, 9 m. A este comprimento foi aumentado 1 metro de fio ficando com 39 929 609, 9 m. A relação inversa, que descreve o raio em função do comprimento da circunferência, é . Usando esta relação para encontrar o raio da circunferência do fio temos r= 39 929 609, 9/(2x3,14159)= 6 355 000, 159 m.

A folga entre a superfície da Terra e do fio é portanto 6 355 000-6 355 000, 159=0,159 m, aproximadamente 16 cm.

Não é difícil imaginar um gato, mesmo que arrastado, passando por baixo de uma fresta de 16 cm.

Enquanto isso

Pavê

Ontem mesmo eu fiz um pavê e queria compartilhar com todos aqueles que lêem este blog.



Olhem, podem ver.

Retorno

Caro leitor deste blog. Saudações.

A álgum tempo atrás criei este e outros blogs afim de publicar algo. Chamar a atenção de internautas com interesses semelhantes afim compartilhar e buscar experiências.

Mas por fim me peguei na seguinte pergunta: será esse o real objetivo para ter um blog? São muitas as possibilidades com as quais tenho visto blogs e sites publicados na internet. Seja como trabalho, divulgação de algo em particular, ou tutoriais. Entretanto nenhum deste me é interessante.

Realmente, não busco escrever um blog como fonte de renda. Não acho que aquilo que tenho para postar aqui vá chamar a atenção um grande número de pessoas para obter muitas visualizações de páginas. Nem mesmo pretendo postar links de downloads que se vê muito por ai (muitas vezes piratas).

Divulgação também não é o meu forte. Não penso, por exemplo, em criar um blog de conteúdos matemáticos ou de qualquer outra área do conhecimento. Creio que o leitor se envolverá bem mais adequadamente em um bom livro ou com as aulas de seu professor do que surfando pela internet.

Tutoriais não é também a minhas especialidade. Dentre os meus interesses: matemática, música, filosofia e religião, só não sou leigo em matemática, e desta não se dá para tirar proveito só com as "receitas prontas" de um tutorial.


Assim, por que então não abandonar este blog ou simplemente excluí-lo? Mas há outra razão para tal. Existe algo que eu posso compartilhar, e somente eu. Não existe nada igual à visão individual de cada um. Cada ser possui uma filosofia de vida, que é adquirida com experiências de momentos de ócio. Sim, ócio, não há momento melhor para se pensar na vida.

Talvez neste objetivo eu venha sim divulgar uma (ou mais) área(s) do conhecimentos, apresentar tutoriais ou ainda obter uma renda a mais. Mas não sendo por isso que escreverei as postagens futuras, reafirmo o que antes avia escrito: "Chamar a atenção de internautas com interesses semelhantes afim compartilhar e buscar experiências."

Provavelmente não encontre com quem partilhar experiências, mas as estatísticas dizem que alguma visualização ainda ocorrem dia ou outro. Então não há tão inutilidade aqui apresentada.

Por fim, darei mais importância as postagens aqui publicadas. Os artigos anteriores passarão por agumas correções até sentir que possam ser apresentados novamente.

Ao leitor do blog peço que deixe seus cometários, sejam dúvidas críticas, ou experiências, ou apenas queira comentar. Assim poderei saber se este blog estará valendo mais do que uma simples página na internet.

Att: Adriano G.S.

Aniversário - Fermat

Hoje é o dia do aniversário de Pierre de Femat. Matemático que viveu de 1601 à 1665, Fermat é o percursor de vários avanços no campo da matemática pura e da teeoria dos número.

Fermat é muito conhecido pela proposição de uma resultado conhecido como: "Último Teorema de Fermat" (último no sentido do último a ser demonstrado). Tal tal proposição diz não existir inteiros tais que

tal que . Quando temo o resultado do teorema de pitágoras. Esta proposição foi demonstrada apenas em 2006 por Andrews Willes.

Esta proposição foi encontrada em um livros que Fermat possuia. Além da proposição Fermat havia comunicado ter uma bela demonstração para este tal teorema mas o espaço da margem era pequeno demais.

A Google colocou em sua página inicial de busca uma imagem com o enunciado do Último Teroema de Fermat. A imagem pode ser vista ao abrir a página inicial do google e também no inicio desta postagem