sexta-feira, 4 de junho de 2010

Vértice da Função do 2º grau

Sabemos que o gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola no plano \mathbb R^2. Em algumas situações é interessante determinar em que ponto (x,y) está situado o vértice da parábola, ponto este que é o máximo (se a concavidade da parábola está para cima) ou mínimo (caso contrário) valor que a função atinge.

Para encontrar este vértice consideramos 3 possíveis situações em que se pode encontrar a função: 1 - a função tem duas raízes; 2 - a função tem uma única raiz; 3 - a função não tem raiz. Estas três situações são ilustradas abaixo:

Em todo caso, encontrar as raízes de uma função f(x)=ax^2+bx+c é o mesmo que resolver a equação ax^2+bx+c=0 que como sabemos possui ou não solução real dependendo do discriminante \Delta=b^2-4ac . As condições são:

  1. ax^2+bx+c=0 possui 2 raízes reais se ;
  2. uma raiz real se \Delta=0;
  3. nenhuma raiz real se \Delta<0.


Observando a figura acima e considerando estas 3 condições de \Delta podemos notar que a função f(x)=ax^2+bx+c terá valor no vértice igual a zero se seu discriminante for igual a zero. Podemos ver isto nos exemplos abaixo:



Agora, se h é o valor que uma função f(x)=ax^2+bx+c assume em seu vértice (h pode ser máximo ou mínimo) consideramos a função g(x)=f(x)-h=ax^2+bx+(c-h).


Podemos notar que a função g(x) além de continuar sendo uma função do 2º grau, também o valor que assume no vértice é zero, isto pode ser verificado notando que ao somar -h a f(x) estamos apenas transladando o seu gráfico verticalmente, isto é, se f(x_v) é o valor de f no vértice então g(x_v) também é o valor de g no vértice, e além disso g(x_v)=f(x_v)-h=h-h=0.


Neste caso para encontrar o vértice (x_v,y_v), y_v=h, de f(x) basta encontrar os valores de x_v e h em g(x), o que é particularmente fácil pois, como g(x) tem uma única solução (seu vértice toca o eixo x) seu discriminante é zero, em outras palavras:

\begin{array}{rcl}\Delta_g&=&0\\b^2-4a(c-h)&=&0\\-4ac+4ah&=&-b^2\\4ah&=&-b^2+4ac\\ h&=&\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\\h&=&\dfrac{-\Delta_f}{4a}\end{array}

E o valor de x0 é, portanto:

\begin{array}{rcl}x_v&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta_g}}{2a}\\{}&=&\dfrac{-b}{2a}\end{array}

Ou seja, o ponto que é o vértice do gráfico da função f(x)=ax^2+bx+c é:
(x_v,y_v)=(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a})

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quarta-feira, 2 de junho de 2010

Soma da PA

Algumas vezes pode se interessante conhecer qual é a soma dos termos de uma progressão aritmética (finita). Entretanto, o trabalho de obter esta soma pode ser tornar massante se a sequências tiver mais que 100 elementos e insistirmos na soma termo a termo.

Um meio mais rápido de obter esta soma é somar primeiros os extremos da PA. O primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo, o terceiro com o anti penúltimo e assim por diante. Veja no exemplo abaixo como isso diminui o trabalho:


A soma desta PA é 6 x50. Não é difícil verificar por que quando somamos os extremos de uma PA o resultado é sempre o mesmo. Praticamente o que fizemos acima foi:

a_1+a_n
\begin{array}{rcl}<br />a_2+a_{n-1}&=&(a_1+r)+(a_1+(n-2)r)\\<br />&=&a_1+(a_1+(n-1)r)\\<br />&=&a_1+a_n\\<br />\end{array}
\begin{array}{rcl}<br />a_3+a_{n-2}&=&(a_1+2r)+(a_1+(n-3)r)\\<br />&=&a_1+(a_1+(n-1)r)\\<br />&=&a_1+a_n\\<br />\end{array}
...

Neste processo podemos prematuramente concluir que a soma de uma PA pode ser obtida somando o primeiro termo com o último e multiplicando este resultado pela metade do número de termos. Isto é válido também para PAs com um número ímpar de termos. Por exemplo:

(1,\quad 3,\quad 5,\quad 7,\quad 9)

A soma é (1+9)\times \frac{5}{2}=10\times 2,5=25. De fato:

1+3+5+7+9=25

Uma forma de melhor visualizar isto é a seguinte. Seja S o valor da soma da PA (a_1, a_2, a_3, ..., a_n). Temos que.

S=a_1+ a_2+ a_3+ ...+a_{n-2}+a_{n-1} +a_n

o que podemos reescrever por

S=a_n+ a_{n-1}+ a_{n-2}+ ...+a_3+ a_2+a_1

Vimos acima que as somas a_1+a_n, a_2+a_{n-1}, a_3+a_{n-2}, ... são todas iguais. Assim, fazendo S+S somando as parcelas acima termo a termo temos:

\begin{array}{rcl}<br />S&=& a_1+a_2+..+a_{n-1}+a_n\\<br />+S&=&a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1\\ \hline<br />2S&=&(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+...+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)\\<br />2S&=&(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)\\<br />2S&=&n(a_1+a_n)\\<br />S&=&\frac{n}{2}(a_1+a_n)<br />\end{array}

O que comprova o que falamos anteriormente, que:

S&=&\frac{n}{2}(a_1+a_n)<br />
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