Adriano GS: Vértice da Função do 2º grau

Sabemos que o gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola no plano $\mathbb R^2$ . Em algumas situações é interessante determinar em que ponto está situado o vértice da parábola, ponto este que é o máximo (se a concavidade da parábola está para cima) ou mínimo (caso contrário) valor que a função atinge.

Para encontrar este vértice consideramos 3 possíveis situações em que se pode encontrar a função: 1 - a função tem duas raízes; 2 - a função tem uma única raiz; 3 - a função não tem raiz. Estas três situações são ilustradas abaixo:

Em todo caso, encontrar as raízes de uma função f(x)=ax^2+bx+c é o mesmo que resolver a equação que como sabemos possui ou não solução real dependendo do discriminante $\Delta=b^2-4ac$ . As condições são:

possui 2 raízes reais se ;
uma raiz real se $\Delta=0$ ;
nenhuma raiz real se $\Delta<0$ .

Observando a figura acima e considerando estas 3 condições de $\Delta$ podemos notar que a função f(x)=ax^2+bx+c terá valor no vértice igual a zero se seu discriminante for igual a zero. Podemos ver isto nos exemplos abaixo:

Agora, se é o valor que uma função f(x)=ax^2+bx+c

assume em seu vértice ( pode ser máximo ou mínimo) consideramos a função .

Podemos notar que a função além de continuar sendo uma função do 2º grau, também o valor que assume no vértice é zero, isto pode ser verificado notando que ao somar a estamos apenas transladando o seu gráfico verticalmente, isto é, se f(x_v)