Adriano GS: Soma da PA

Algumas vezes pode se interessante conhecer qual é a soma dos termos de uma progressão aritmética (finita). Entretanto, o trabalho de obter esta soma pode ser tornar massante se a sequências tiver mais que 100 elementos e insistirmos na soma termo a termo.

Um meio mais rápido de obter esta soma é somar primeiros os extremos da PA. O primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo, o terceiro com o anti penúltimo e assim por diante. Veja no exemplo abaixo como isso diminui o trabalho:

A soma desta PA é 6 x50. Não é difícil verificar por que quando somamos os extremos de uma PA o resultado é sempre o mesmo. Praticamente o que fizemos acima foi:

a_1+a_n

$\begin{array}{rcl} a_2+a_{n-1}&=&(a_1+r)+(a_1+(n-2)r)\\ &=&a_1+(a_1+(n-1)r)\\ &=&a_1+a_n\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} a_3+a_{n-2}&=&(a_1+2r)+(a_1+(n-3)r)\\ &=&a_1+(a_1+(n-1)r)\\ &=&a_1+a_n\\ \end{array}$
...

Neste processo podemos prematuramente concluir que a soma de uma PA pode ser obtida somando o primeiro termo com o último e multiplicando este resultado pela metade do número de termos. Isto é válido também para PAs com um número ímpar de termos. Por exemplo:

$(1,\quad 3,\quad 5,\quad 7,\quad 9)$

A soma é $(1+9)\times \frac{5}{2}=10\times 2,5=25$ . De fato:

1+3+5+7+9=25

Uma forma de melhor visualizar isto é a seguinte. Seja

o valor da soma da PA (a_1, a_2, a_3, ..., a_n)

. Temos que.

$S=a_1+ a_2+ a_3+ ...+a_{n-2}+a_{n-1} +a_n$

o que podemos reescrever por

$S=a_n+ a_{n-1}+ a_{n-2}+ ...+a_3+ a_2+a_1$

Vimos acima que as somas $a_1+a_n, a_2+a_{n-1}, a_3+a_{n-2}, ...$ são todas iguais. Assim, fazendo S+S

somando as parcelas acima termo a termo temos:

$\begin{array}{rcl} S&=& a_1+a_2+..+a_{n-1}+a_n\\ +S&=&a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1\\ \hline 2S&=&(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+...+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)\\ 2S&=&(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)\\ 2S&=&n(a_1+a_n)\\ S&=&\frac{n}{2}(a_1+a_n) \end{array}$

O que comprova o que falamos anteriormente, que:

$S&=&\frac{n}{2}(a_1+a_n) $

Adriano GS

quarta-feira, 2 de junho de 2010

Soma da PA

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