Sequências Numéricas

CONCEITO E DEFINIÇÃO

Uma sequência numérica é qualquer lista ordenada de números reais com índices no conjunto dos números naturais. O elemento de índice n de uma sequência é chamado de n-ésimo termo da sequência. Os índices nos permitem estabelecer uma relação biunívoca entre o conjunto dos números naturais e os termos da sequência.

São sequências numérica:

(1) . . . . . . . . 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
(2) . . . . . . . . 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
(3) . . . . . . . . 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
(4) . . . . . . . . 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ...
(5) . . . . . . . . 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
(6) . . . . . . . .5, 6, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 2, ....

Note que nas sequências (1), (2), (3) e (4) não é difícil encontrar um padrão nos números listados. Na sequência (5) cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores. Já na sequência (6) não há um critério explícito para a formação da sequência.

Normalmente usamos a notação a_n para denotar o n-ésimo termo de uma sequência, assim na sequência (3) temos: a₁=2, a₂=3, a₃=5, a₄=7, e assim por diante.


CLASSIFICAÇÃO DAS SEQUÊNCIAS

Não menos, nem mais importante, são as classificações das sequências. Segundo algumas propriedades podemos classificar as sequências como:

Constante: quando todos os termos da sequência são iguais. Exemplos:

(A) . . . . . . . . 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
(B) . . . . . . . . 3,73; 3,73; 3,73; 3,73; ...

Crescente: quando qualquer termo, a partir do segundo, é maior ou igual ao termo anterior. Exemplos:

(C) . . . . . . . . 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
(D) . . . . . . . . 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Decrescente: quando qualquer termo, a partir do segundo, é menor ou igual ao anterior. Exemplos:

(E) . . . . . . . . 4, 3, 1, -5, -10, ...
(F) . . . . . . . . 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...

Limitada: quando existem números reais k e K de tal forma de todos os termos da sequência estão entre eles. Exemplos:

(G) . . . . . . . . 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... (k=0, K=1/2)
(H) . . . . . . . . 1, 2, 1, 2, 1, 2, ....(k=1, K=2)

Oscilante: quando a sequência forma um período que se repete indefinidamente. Exemplos:

(I) . . . . . . . . 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...
(J) . . . . . . . . 3, 5, 11, 3, 5, 11, 3, ...

Nula: quando todos os termos são iguais a zero.

Algumas sequências que mais se destacam são as Progressões Aritméticas (PA) e as Progressões Geométricas (PG) que descreveremos com mais aprofundamento posteriormente.